Question

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足．
（1）求证数列成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当时，公比q的值．

Answer 1

解：（1）由已知，当n≥2时，，又b_n=S_n-S_n-1，（1分）
所以．（2分）
即，所以，（4分）
又S₁=b₁=a₁=1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．（5分）
所以，即．（7分）
所以，当n≥2时，，（9分）
因此（10分）
（2）因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列．（12分）
所以，，（13分）
又，所以q=2．（14分）
分析：（1）由，知，所以，由此能够推导出数列{b_n}的通项公式．
（2）因为，所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列，由此能求出当时，公比q的值．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要灵活运用数列通项公式的求解方法，合理地利用递推公式，仔细审题，认真解答．