Question

已知α，β∈R且αβ≠0，数列{x_n}满足x₁=α+β，x2=α2+αβ+β2，x_n+2=（α+β）x_n+1-αβ•x_n（n≥1，n∈N），令b_n=x_n+1-αx_n．
（1）求证：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{x_n}的通项公式；（不能直接使用竞赛书上的结论，要有推导过程）
（3）若α=β=

1

2

，求{x_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，推出

bn+1

bn

是常数，即可证明{b_n}是等比数列；
（2）通过α≠β与α=β，分别求出数列{x_n}的通项公式；（不能直接使用竞赛书上的结论，要有推导过程）
（3）利用（2）的结论，通过α=β=

1

2

，写出{x_n}的通项公式，利用错位相减法求出前n项和S_n．

解答：解：（1）因为b_n=x_n+1-αx_n．
所以b₁=x₂-αx₁=α²+αβ+β²-α（α+β）=β²．

bn+1

bn

=

xn+2-αxn+1

xn+1- αxn

=β．所以{b_n}是等比数列；
（2）①当α≠β时，∴x_n-αx_n-1=β（x_n-1-αx_n-2），x_n-βx_n-1=α（x_n-1-βx_n-2），
由等比数列性质可得，
x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2=βⁿ，
x_n-βx_n-1=（x₂-βx₁）α^n-2=αⁿ，
联立解得：x_n=

αn+1-βn+1

α-β

，
②当α=β时，由①可得，x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2，
∵α=β，x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）α^n-2=αⁿ，即x_n=αx_n-1+αⁿ，
等式两边同除以αⁿ，得：

xn

αn

=

xn-1

αn-1

+1
即

xn

αn

-

xn-1

αn-1

=1，
数列{

xn

αn

}是以1为公差的等差数列，

xn

αn

=

x1

α

+(n-1)×1=

2α

α

+n-1=n+1，
xn=(n+1)αn
综上所述，xn=

αn+1-βn+1 α-β ，(α≠β) (n+1)αn+1，(α=β)

…（10分）
（3）因为α=β=

1

2

，由（2）可得xn=(n+1)•(

1

2

)n
S_n=[(

1

2

) +(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n ]+[(

1

2

) +2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n ]，
令P=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，…①

1

2

P=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1…②，
①-②得，

1

2

P=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n ×(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n ×(

1

2

)n+1．
∴S_n=1-(

1

2

)n+2-(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=3-(n+3)(

1

2

)n…（14分）

点评：本题考查数列的判定，数列通项公式与前n项和的求法，考查分类讨论思想，计算能力．