Question

求证如果一条直线和两个平行平面中的一个平面相交，那么它也和另一个平面相交，

 

Answer 1

答案：
解析：

已知：平在α∥平面β，直线AB∩α=A． 求证：直线AB和平面β相交． 分析：用反证法证明，直线与平面的位置线有三种：直线在平面内；直线与平面相交；直线与平面平行，因此本题欲证结论的反面应是平行与在面内两种情况 证明：(1) 假设AB∥β，过AB作平面r，使β∩r=CD，则AB∥CD． ∵ AB∩α=A，A既在α内，又在r内． ∴α∩r=． ∵α∥β． ∴ ∥CD． 于是AB∥与AB∩=A矛盾 ∴ AB不能与平面β平行． (2) 假设ABβ， 因为AB∩α=A，则点A既在α内， 又在β内， 所以α与β相交于过A点的直线，这与α∥β矛盾． ∴ ABα 由(1)(2)知，AB与平面β相交．