Question

求证:如果一条直线和两个相交的平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.

已知:如图,α∩β=l,a∥α,a∥β.

求证:a∥l.

Answer 1

解析:证明本题可以利用线面平行的性质定理,可用同一法.

证法一:过a作平面γ交平面α于b,

∵a∥α,∴a∥b.同样,过a作平面ξ交平面β于C.

∵a∥β,∴a∥C.∴b∥C.

    又∵bβ且Cβ,∴b∥β.

    又平面α经过b交β于l.

∴b∥l,且a∥b.∴a∥l.

证法二:在l上任取一点A,过A和a作平面和α相交于l₁,和β相交于l₂.

∵a∥α,∴a∥l₁.

∵a∥β,∴a∥l₂.

    但过一点只能作一条直线与另一条直线平行,

∴l₁与l₂重合.

    又∵l₁α,l₂β,

∴l₁和l₂重合于l.

∴a∥l.

点评:(1)应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线,有时为了得到交线还需作出辅助平面.

(2)证法二用到了结论“过空间直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”，且本证法是“同一法”.