题目内容
如图所示铁路线上AB线段长100km，工厂C到铁路线上A处的垂直距离CA为20km．现在要在AB上选一点D，从D向C修一条直线公路．已知铁路运输每吨千米与公路运输每吨千米的运费之比为3：5，为了使原料从B处运到工厂C的运费最省，D应选在何处？
分析：设∠CDA=α，铁路和公路每公里的运费分别为3K和5K，则DA=
，CD=
，进而可表示出总运费，再利用导数的方法，可求运费最省时，D的位置．
| 20 |
| tanα |
| 20 |
| sinα |
解答：解：设∠CDA=α，总运费为y，铁路和公路每公里的运费分别为3K和5K，
则DA=
，CD=
∴BD=100-
∴y=3K（100-
）+5K×
=300K+20K×
∵y′=20K×
令y′=20K×
=0，可得cosα=
令y′=20K×
＞0，可得cosα＜
，令y′=20K×
＜0，可得cosα＞
从而可知，当cosα=
时，函数取得极小值，而且就是函数的最小值
此时，sinα=
，tanα=
，DA=
=15km
即D离A点15km．
则DA=
| 20 |
| tanα |
| 20 |
| sinα |
∴BD=100-
| 20 |
| tanα |
∴y=3K（100-
| 20 |
| tanα |
| 20 |
| sinα |
| 5-3cosα |
| sinα |
∵y′=20K×
| 3-5cosα |
| sin2α |
令y′=20K×
| 3-5cosα |
| sin2α |
| 3 |
| 5 |
令y′=20K×
| 3-5cosα |
| sin2α |
| 3 |
| 5 |
| 3-5cosα |
| sin2α |
| 3 |
| 5 |
从而可知，当cosα=
| 3 |
| 5 |
此时，sinα=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 20 |
| tanα |
即D离A点15km．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，选择适当的参数是解题的关键．
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