题目内容

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosB-bcosA= $数学公式$ c，则tan（A-B）的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB=4sinBcosA，两边同除以cosAcosB，得到tanA=4tanB．利用两角差的正切公式，得tan（A-B）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当tanB= $\text{[math]}$ 时，tan（A-B）的最大值为 $\text{[math]}$ ．
解答：∵acosB-bcosA= $\text{[math]}$ c，
∴结合正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA= $\text{[math]}$ sinC，
∵C=π-（A+B），得sinC=sin（A+B）
∴sinAcosB-sinBcosA= $\text{[math]}$ （sinAcosB+cosAsinB）
整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB
由此可得tan（A-B）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0
∵ $\text{[math]}$ +4tanB≥2 $\text{[math]}$ =4
∴tan（A-B）= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ =4tanB，即tanB= $\text{[math]}$ 时，tan（A-B）的最大值为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题已知三角形边角的一个关系式，求tan（A-B）的最大值，着重考查了正弦定理、两角差的正切公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．