Question

15．已知实数x，y满足x²+y²-4x-6y+9=0，则x²+y²的取值范围是$[17-4\sqrt{13}，17+4\sqrt{13}]$．

Answer 1

分析 x²+y²-4x-6y+9=0，配方为：（x-2）²+（y-3）²=4，令x=2+2cosθ，y=3+2sinθ，θ∈[0，2π）．再利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：x²+y²-4x-6y+9=0，配方为：（x-2）²+（y-3）²=4，
令x=2+2cosθ，y=3+2sinθ，θ∈[0，2π）．
则x²+y²=（2+2cosθ）²+（3+2sinθ）²=8cosθ+12sinθ+17
=4$\sqrt{13}$$（\frac{2}{\sqrt{13}}cosθ+\frac{3}{\sqrt{13}}sinθ）$+17
=$4\sqrt{13}$sin（θ+φ）+17，φ=arctan$\frac{2}{3}$．
∴x²+y²的取值范围是$[17-4\sqrt{13}，17+4\sqrt{13}]$．
故答案为：$[17-4\sqrt{13}，17+4\sqrt{13}]$．

点评 本题考查了圆的参数方程、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．