Question

4．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=4ax³+2bx，利用导数的几何意义列出方程组，求出a，b，c，由此能求出y=f（x）的解析式．
（2）求出f′（x）=10x³-9x，利用导数性质能求出y=f（x）的单调递区间．

解答 解：（1）∵f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），
且在x=1处的切线方程是y=x-2，
∴f′（x）=4ax³+2bx，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=c=1}\\{{f}^{'}（1）=4a+2b=1}\\{f（1）=a+b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{5}{2}$，b=-$\frac{9}{2}$，c=1，
∴y=f（x）的解析式为f（x）=$\frac{5}{2}{x}^{4}$-$\frac{9}{2}{x}^{2}$+1．
（2）f′（x）=10x³-9x，
由f′（x）=10x³-9x＞0，得-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$＜x＜0或x＞$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
由f′（x）=10x³-9x＜0，得x＜-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$或0＜x＜$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴y=f（x）的单调递增区间为（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，0），（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，+∞），
单调减区间为（-∞，-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$），（0，$\frac{3\sqrt{10}}{3}$）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．