Question

在数列，S_n是数列{a_n}的前n项和．当n≥2且n∈N^*时，S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，令．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试用n和b_n表示b_n+1；
（3）若b₁=1，n∈N^*，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1化简可得数列{a_n²}是首项为1，公差为1的等差数列，求出通项公式开方可得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据b_n的通项公式得到b_n+1的通项，然后相减得，移项化简可得b_n+1；
（3）当n=1时，不等式成立；当n≥2时，列举b_n各项化简不等式的左边，然后当k≥2时，利用即可得证．
解答：解：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1
得（S_n+1-S_n）²-（S_n-S_n-1）²=1，即a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*）
∴数列{a_n²}是首项为1，公差为1的等差数列
于是，∴

（2）当n≥2时，∵
∴．
∴∴

（3）当n=1时，，不等式成立；
当n≥2时，由（1）得
∴
又当k≥2时，
∴
于是当n≥2时，
综上所述，对一切n∈N^*，不等式都成立．
点评：考查学生灵活运用数列解决实际问题的能力，以及会求等差、等比数列的通项公式及前n项和的公式．会利用数列进行不等式的证明．