Question

设S_n是数列a_n的前n项和，点P（a_n，S_n）（n∈N₊，n≥1）在直线y=2x-2上．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）记bn=2(1-

1

an

)，数列b_n的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）设正数数列c_n满足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求数列c_n中的最大项．

Answer 1

分析：（1）依题意得S_n=2a_n-2，则n＞1时，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=2a_n-1，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）依题意bn=2-(

1

2

)n-1，Tn=2n-2+2•(

1

2

)n．由T_n＞2011，得n+(

1

2

)n＞

2013

2

，n≤1006时，n+(

1

2

)n＜

2013

2

，当n≥1007时，n+(

1

2

)n＞

2013

2

，由此能求出n的最小值．
（3）由已知得（c_n）ⁿ⁺¹=n+1即lnc_n^（n+1）=ln（n+1），lncn=

ln(n+1)

n+1

，由此能求出数列{c_n}中的最大项．

解答：（1）解：依题意得S_n=2a_n-2，则n＞1时，S_n-1=2a_n-1-2
∴n≥2时，S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，（2分）
又n=1时，a₁=2
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ．（4分）
（2）解：依题意bn=2-(

1

2

)n-1，∴Tn=2n-2+2•(

1

2

)n
由T_n＞2011，得n+(

1

2

)n＞

2013

2

（6分）
n≤1006时，n+(

1

2

)n＜

2013

2

，当n≥1007时，n+(

1

2

)n＞

2013

2

因此n的最小值为1007．（9分）
（3）解：由已知得（c_n）ⁿ⁺¹=n+1即lnc_n^（n+1）=ln（n+1）
∴lncn=

ln(n+1)

n+1

，（11分）
令f(x)=

lnx

x

，x∈[3，+∞），则f′(x)=

1-lnx

x2

，当x≥3时，lnx＞1，即f^(x)＜0
∴当x∈[3，+∞）时，f（x）为递减函数
∴n＞2时，{c_n}是减数列，（12分）
∵c_n＞0，∴c1=

2

，c2=

3	3

，c3=

4	4

，
∴c₁＜c₂＞c₃
∴c₂为数列c_n中最大项．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．