Question

【题目】如图，在四边形中， .

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若是的角平分线，求的长.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）5 .

【解析】

（Ⅰ）由已知及余弦定理可得cos∠B，利用诱导公式即可计算得解cos∠D的值，（Ⅱ）由

已知可得∠DAC=∠BAC，根据正弦定理，结合sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，可求DC=BC

即可得解DC的值．

（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=7，

∴由余弦定理可得cos∠B===﹣，

∵∠B+∠D=π，

∴cos∠D=cos（π﹣∠B）=﹣cos∠B=．

（Ⅱ）∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

∴由正弦定理，在△ABC中，有，

在△ADC中，有，

∵sin∠ABC=sin∠DAC，且sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，

∴DC=BC，

∴DC=5．