Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx．

（1）若a＝4，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；

（3）若x1、x2∈R+，且x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)将a=4代入f(x)求出f(x)的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;

(2)根据条件将问题转化为在,上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出的范围;

(3)根据条件将问题转化为成立问题,令,即成立,再利用函数的单调性证明即可.

解:(1)的定义域是,,

所以时,,

由,解得或,

由,解得,

故在和,上单调递增,在,上单调递减.

(2)由(1)得,

若函数在区间,递增,则有在,上恒成立,

即在,上恒成立成立,所以只需,

因为函数在时取得最小值9,所以,

所以a的取值范围为.

(3)当时,不等式显然成立,

当时,因为,,所以要原不等式成立,

只需成立即可,

令,则,

由(2)可知函数在,递增,所以,

所以成立,

所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).