Question

10．已知函数f（x）=sinx-2$\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$．
（I）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，可得周期，解$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得f（x）的递增区间；
（2）由x的范围可得$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤π$，结合解析式可得其最值．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sinx-2$\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$
=sinx-2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cosx}{2}$=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
∴f（x）的最小正周期T=2π，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得$2kπ-\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{π}{6}$，
∴f（x）的递增区间为$[{2kπ-\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{π}{6}}]$（k∈Z）；
（2）∵$0≤x≤\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤π$．
当$x+\frac{π}{3}=π$即$x=\frac{2π}{3}$时，f（x）在区间$[0，\frac{2π}{3}]$上取得最小值，
∴代入计算可得f（x）的最小值为$f（\frac{2π}{3}）=-\sqrt{3}$；
当$x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$时，f（x）在区间$[0，\frac{2π}{3}]$上取得最大值，
∴代入计算可得f（x）的最大值为$f（\frac{π}{6}）=2-\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．