Question

【题目】已知圆 ，直线 .

（1）求直线 所过定点 的坐标；
（2）求直线 被圆 所截得的弦长最短时 的值及最短弦长.
（3）已知点 ，在直线 上( 为圆心)，存在定点 (异于点 )，满足：对于圆 上任一点 ，都有 为一常数，试求所有满足条件的点 的坐标及该常数.

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意得， ，
令 ，且 ，得 ， ，∴直线 过定点
（2）解：当 时，所截得弦长最短，由题知 ， .
∴ ，得 ，∴由 得 .
∴圆心到直线的距离为 .
∴最短弦长为
（3）解：法一：由题知，直线 的方程为 ，假设存在定点 满足题意，
则设 ， ，得 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
∵上式对任意 恒成立，
∴ 且 ，
解得 ， 或 ， (舍去，与 重合)，
综上可知，在直线 上存在定点 ，使得 为常数 .
法二：设直线 上的点 .
取直线 与圆 的交点 ，则 ，
取直线 与圆 的交点 ，则 ，
令 ，解得 或 (舍去，与 重合)，此时 ，
若存在这样的定点 满足题意，则必为 .
下证：点 满足题意，
设圆上任意一点 ，则 ，
∴ ∴ .
综上可知，在直线 上存在定点 ，使得 为常数
【解析】（1）求含字母系数的直线方程所过的定点将方程转化为该字母的等式，求得使等式恒成立时x，y的值即可；（2）利用点到直线垂线段最短的基本思路来解题；（3）先设出满足条件的点 N 的坐标及该常数，经过变形后成为求解x在闭区间上使得等式恒成立的条件.