Question

【题目】已知圆 ，直线
．
（1）求证：对任意的 ，直线 与圆 恒有两个交点；
（2）求直线 被圆 截得的线段的最短长度，及此时直线 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：直线 的方程可化为 ，
由 得 则 恒过点 ，
， 点 在圆 内，
直线 与圆 恒有两个交点
（2）解： 恒过圆 内一点 ， 当 过 与 垂直时，弦最短，
， 最短弦长 ，
直线 的斜率为 ， ，
的方程为 ，即
【解析】（1）由直线与圆相交的性质可以通过证明点P在圆内即可证明直线与圆C恒有两个交点。
（2）由条件可知 当 l 过 P 与 P C 垂直时，弦最短，进而可以求出直线的斜率，然后求出直线方程。