题目内容

求函数f(x)=－(x<－2)的反函数f－1(x),并确定y=f(x)在定义域上的单调性.

解:由y=－(x<－2),得y<0且x=－3y2－2.

于是,f(x)的反函数f－1(x)=－3x2－2(x<0).

下面证明f－1(x)在定义域上是增函数:任取x1<x2<0,则f－1(x1)－f－1(x2)=－3x12－2+3x22+2=3(x2－x1)(x2+x1).

因为x1<x2<0,所以x2－x1>0,x2+x1<0,

于是f－1(x1)<f－1(x2),

即f－1(x)在定义域上是增函数,故y=f(x)是定义域上的单调增函数.

练习册系列答案
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（I）已知函数f(x)=
3
sin2x-2cos2x-1，x∈R，求函数f(x)的最小正周期；
（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2
3
，C=
π
3
，若向量n=（1，sinA）与向量n=（2，sinB）共线，求a，b的值．
已知函数f（x）=
x
x-1
．
（1）用函数单调性定义证明f(x)=
x
x-1
在（1，+∞）上是单调减函数；
（2）求函数f(x)=
x
x-1
在区间[3，4]上的最大值与最小值．
（1）已知a，b，x，y是正实数，求证：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，当且仅当
a
x
=
b
y
时等号成立；
（2）求函数f(x)=
1
3-tan2x
+
9
8+sec2x
的最小值，并指出取最小值时x的值．
对定义在实数集R上的函数f1（x），f2（x），令F（x）=f1（x）+f2（x），已知对任意不同的实数x1，x2，|f1（x1）-f1（x2）|＞|f2（x1）-f2（x2）|．
（1）若y=f1（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明；
（2）若y=f2（x）是区间D上的增函数，能否确定y=F（x）是区间D上的增函数？若能够确定，说明理由；若不能，请举例说明；
（3）求函数f(x)=x2+
14x
(x＞0)的单调区间．
试求函数f(x)=
3
sin2x+cos2x的单调递增区间和最大、最小值．

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