题目内容

已知函数
（1）试求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=2处有极值，且f（x）图象与直线y=4x有三个公共点，求b的取值范围．
【答案】分析：（1）先求导函数，讨论a的正负，然后解f'（x）＞0的解集，从而求出函数的单调递增区间；
（2）先根据极值求出a的值，令，然后利用导数求出函数的两个极值点，要使f（x）图象与y=4x有三个公共点，只需极大值大于0，极小值小于0，建立关系式，即可求出b的范围．
解答：解：（1）f'（x）=ax2-x-2a
当a=0时，f'（x）=-x＞0⇒x＜0
当a≠0时，△=1+8a2＞0，方程f'（x）=0有不相等的两根为
1°当a＞0时，或
2°当a＜0时，
综上：当a=0时，f（x）在（-∞，0）上递增
当a＞0时，f（x）在，上递增
当a＜0时，f（x）在上递增
（2）∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=0，∴a=1
令
∴g'（x）=x2-x-6=0⇒x=-2或3g'（x）＞0⇒x＜-2或x＞3g'（x）＜0⇒-2＜x＜3
∴g（x）在x=-2处有极大值，在x=3处有极小值
要使f（x）图象与y=4x有三个公共点
则，即b的取值范围为
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数在某点取得极值的条件和函数图象的交点问题，同时考查了计算能力，转化的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=loga
2m-1-mxx+1
(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．
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2m-1-mxx+1
(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值．
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

已知函数．

(1)求图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与x轴交点坐标．

(2)求函数的单调区间，最值，零点．

(3)设图象与x轴相交于点(x1，0)，(x2，0)，不求出根，求|x1－x2|．

(4)已知，不计算函数值，求．

(5)不计算函数值，试比较与的大小．

(6)写出使函数值为负数的自变量x的集合．

已知函数，

(1)若函数在[l，+∞]上是增函数，求实数的取值范围。

(2)若=一是的极值点，求在[l，]上的最大值：

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g()=b的图像与函的图像恰有3个交点，若存在，求出实数b的取值范围：若不存在，试说明理由。

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