题目内容

对于函数f（x），其定义域为D，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（ $数学公式$ ）＞ $数学公式$ [f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax²（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．

解：（1）f（x）不是其定义域上的凸函数．
f（x）的定义域为R，设x₁≠x₂，则
f（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]=a $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （a $\text{[math]}$ -a $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴f（ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]，
∴f（x）不是其定义域上的凸函数
（2）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）内是凸函数，
∴f（ $\text{[math]}$ ）＞ $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]，
即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ （log_ax₁+log_ax₂）= $\text{[math]}$ ①
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴ $\text{[math]}$ -x₁x₂= $\text{[math]}$ ＞0，即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
故要①成立，则a＞1．
∴实数a的取值范围是（1，+∞）
分析：（1）根据凸函数的定义，作差f（ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]判断即可；
（2）依题意，f（ $\text{[math]}$ ）＞ $\text{[math]}$ [f（x₁）+f（x₂）]? $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，通过比较其真数的大小即可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查对数函数的单调性，考查作差法，着重考查推理证明的逻辑思维能力，属于难题．