Question

（2012•威海二模）已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，F为其右焦点，A为左顶点，l为右准线，过F的直线l′与椭圆交于异于A点的P、Q两点．
（1）求

AP

•

AQ

的取值范围；
（2）若AP∩l=M，AQ∩l=N，求证：M、N两点的纵坐标之积为定值．

Answer 1

分析：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y_i=k（x_i-1）（i=1，2），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韦达定理将

AP

•

AQ

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）最终转化为

AP

•

AQ

=

27k2

3+4k2

，通过换元即可求得

AP

•

AQ

的取值范围；
（2）右准线l的方程为x=4，由（1）可求得直线AP与AQ的方程，从而可得点M与点N的纵坐标，点M与点N的纵坐标之和为：

6y1

x1+2

+

6y2

x2+2

，通分化简可得其结果为-9，问题解决．

解答：解：（1）∵椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，
∴其右焦点F（1，0），左顶点A（-2，0），
∴设直线l′斜率为k，则直线l′的方程为：y=k（x-1），
∴由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y_i=k（x_i-1）（i=1，2），
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁•x₂=

4k2-12

3+4k2

；
∴

AP

•

AQ

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）•（x₂+2）+y₁•y₂
=（x₁+2）•（x₂+2）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）•x₁•x₂+（2-k²）（x₁+x₂）+4+k²
=（1+k²）•

4k2-12

3+4k2

+（2-k²）•（

8k2

3+4k2

）+4+k²
=

27k2

3+4k2

．
令μ=

27k2

3+4k2

，则（27-4μ）k²=3μ，
∴k²=

3μ

27-4μ

≥0，
∴0≤μ＜

27

4

．
（2）由（1）可得直线AP的方程为：y=

y1

x1+2

（x+2），AQ的方程为：y=

y2

x2+2

（x+2），
∵右准线l的方程为：x=4，
∴直线AP与l的交点M的纵坐标为：

6y1

x1+2

，
同理可得直线AQ与l的交点N的纵坐标为：

6y2

x2+2

，
∴

6y1

x1+2

•

6y2

x2+2

=

36k2(x1-1)(x2-1)

x1x2 +2(x1+x2)  +4

=

36k2[x1x2-(x1+x2)+1]

x1x2 +2(x1+x2)  +4

=

36k2[ 4k2-12 3+4k2 - 8k2 3+4k2 +1]

4k2-12 3+4k2 + 16k2 3+4k2 + 12+16k2 3+4k2

=-9．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，难点在于直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理进行转化，着重考查方程思想与化归思想，突出运算能力的考查，属于难题．