Question

【题目】如图，多面体中， 是正方形， 是梯形， ， ， 平面且， 分别为棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）通过证明平面，所以平面平面．（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，求二面角的余弦值。

试题解析：

（Ⅰ）∵， 是正方形

∴∵分别为棱的中点∴

∵平面∴∵，

∴平面∴从而

∵， 是中点∴

∵∴平面

又平面

所以，平面平面．

（Ⅱ）由已知， 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设，

则， ， ， ，

∴，

平面的一个法向量为，

由得令，则

由（Ⅰ）可知平面

∴平面的一个法向量为

设平面和平面所成锐二面角为，

则

所以，平面和平面所成锐二面角的余弦值为．