Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边，已知a=2，C=

π

4

，cos

B

2

=

2 5

5

.
（1）求△ABC面积；
（2）设D为AC中点，求

BD

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）先根据cos

B

2

，利用二倍角公式求得cosB的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinB，进而利用两角和公式求得sinA的值，最后利用正弦定理求得c，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积．
（2）根据题意可推断出

BD

=

1

2

(

BA

+

BC

)和

AC

=

BC

-

BA

进而代入到

BD

•

AC

求得答案．

解答：解：由题意得cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

∴B为锐角，且sinB=

4

5

sinA=sin(π-B-C)=sin(

3

4

π-B)=

7 2

10

∴c=

a

sinA

•sinC=

10

7

（1）S△ABC=

1

2

ac•sinB=

8

7

（2）

BD

=

1

2

(

BA

+

BC

)，

AC

=

BC

-

BA

∴

BD

•

AC

=

1

2

(

BC

2-

BA

2)=

1

2

(a2-c2)=

1

2

(22-(

10

7

)2)=

48

49

.

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理的应用，二倍角公式和两角和公式的化简求值，向量的基本计算．考查了学生综合运用基础知识的能力．