Question

已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在上恒成立，求所有实数的值；
（3）对任意的，证明：

Answer 1

（1）当时，，减区间为；当时，递增区间为，递减区间为；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）利用导数判断函数的单调性，就是在定义域内考虑 导函数的符号，先求导函数得，，令，得，讨论根与定义域的关系，当时，，减区间为；当时，将定义域分段，分别考虑导函数的符号，即得函数的单调区间；（1）只需函数的最大值小于等于0即可，由（1）得，当时，减区间为，且，故不满足；当时，，记，可求得，故，故；（3）由（2）得，当且仅当时，恒成立，即，又，结合起来证明即可.
试题解析：（1），                   1分
当时，，减区间为                           2分
当时，由得，由得               3分
∴递增区间为，递减区间为                           4分
（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而
∴在区间上不可能恒成立                           5分
当时，在上递增，在上递减，
，令，                6分
依题意有，而，且
∴在上递减，在上递增，
∴，故                           9分
（3）由（2）知：时，且恒成立
即恒成立
则
                  11分
又由知在上恒成立，
∴        13分
综上所述：对任意的，证明：                     14分