Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于AB两点．
（Ⅰ）如果sinα=

3

5

，点B的横坐标为

5

13

，求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）已知点C（2

3

，-2），求函数f（α）=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由α为锐角，得到cosα的值大于0，由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，再由B的横坐标，及单位圆半径为1，利用三角函数定义求出cosβ的值，由β为锐角，得到sinβ的值大于0，由cosβ的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算，即可求出值；
（Ⅱ）表示出两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值确定出f（α），由α为锐角，求出这个角的范围，利用余弦函数的图象与性质求出余弦函数的值域，即可得出f（α）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵α是锐角，sinα=

3

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，
∵点B的横坐标为

5

13

，单位圆半径为1，
∴根据三角函数的定义，得cosβ=

5

13

，
又∵β是锐角，
∴sinβ=

1-cos2β

=

12

13

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

12

13

=-

16

65

；
（Ⅱ）由题意可知，

OA

=（cosα，sinα），

OC

=（2

3

，-2），
∴f（α）=

OA

•

OC

=2

3

cosα-2sinα=4cos（α+

π

6

），
∵0＜α＜

π

2

，
∴

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，
∴-

1

2

＜cos（α+

π

6

）＜

3

2

，即-2＜f（α）＜2

3

，
∴函数f（α）的值域为（-2，2

3

）．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，余弦函数的定义域与值域，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．