Question

10．已知函数$f（x）=cos（2πx+\frac{π}{3}）$，若对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可知f（x₁）是f（x）的最小值，f（x₂）是f（x）的最大值，它们分别在最低和最高点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．

解答 解：∵对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）是函数f（x）的最小值，f（x₂）是函数f（x）的最大值．
∴|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期，
∵T=$\frac{2π}{2π}=1$，
∴|x₁-x₂|的最小值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的图象和最值，关键是对题意的理解，属中档题．