Question

设数列{a_n}的前n项和Sn=

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

其中n=1，2，3，…
（1）求a₁与通项公式a_n及S_n
（2）记xn=

2n

Sn

，求数列{x_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可化为an-4an-1=2n．变形为an+2n=4(an-1+2n-1)，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

)-(

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

)，化为an-4an-1=2n．
∴an+2n=4(an-1+2n-1)，
又a₁+2=4，∴数列{an+2n}是等比数列，首项为4，公比为4．
∴an+2n=4n，解得an=4n-2n．
S_n=

4

3

(4n-2n)-

1

3

×2n+1+

2

3

=

4n+1

3

-2n+1+

2

3

．
（2）由（1）可得x_n=

2n

2 3 [2•(2n)2-3•2n+1]

=

3

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)，
∴T_n=

3

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]
=

3

2

(1-

1

2n+1-1

)．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求通项公式、等比数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于难题．