Question

已知函数 , .  
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）曲线在点处的切线方程。
（Ⅱ）函数的递增区间为，递减区间为。
（Ⅲ）的取值范围是.

试题分析：（Ⅰ）当时，           1分
                            .2分
所以曲线在点处的切线方程            3分
（Ⅱ）     4分
当时，解，得，解，得
所以函数的递增区间为，递减区间为在            5分
时，令得或
ⅰ）当时，

x	)
f’(x)	+		-		+
f(x)	增		减		增

        6分
函数的递增区间为，，递减区间为        7分
ⅱ）当时， 
在上，在上                      8分
函数的递增区间为，递减区间为                9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，
所以，                                     11分
存在，使       即存在，使，
方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于 
所以有      即解得：        13分
方法二：将 整理得 
从而有所以的取值范围是.              13分
点评：中档题，本题属于导数应用中的常见问题，通过研究函数的单调性，明确最值情况。曲线切线的斜率，等于函数在切点处的导函数值。在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。涉及不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，得到确定参数（范围）的目的。对数函数要注意其真数大于0.