题目内容

函数f(x)=asin
πx
2
+bcos
πx
2
的一个零点为
1
3
，且f(
3
2
)＜f(
13
12
)＜0，对于下列结论：
①f(
13
3
)=0；②f(x)≥f(
4
3
)；③f(
13
12
)=f(
17
12
)
④f（x）的单调减区间是[4k-
2
3
，4k+
1
3
](k∈Z)；
⑤f（x）的单调增区间是[4k+
4
3
，4k+
10
3
](k∈Z)．
其中正确的结论是______．（填写所有正确的结论编号）
由题意可得：f（x）=
a2+b2
sin（
π
2
x+φ），
∵f（
1
3
）=0，
∴sin（
π
6
+φ）=0，
∴φ=kπ-
π
6
（k∈Z）．不妨取φ=-
π
6
或φ=
5π
6
；
又f(
3
2
)＜f(
13
12
)＜0，即sin（
π
2
×
3
2
+φ）＜sin（
π
2
×
13
12
+φ）＜0，
∴φ=
5π
6
．
∴f（x）=
a2+b2
sin（
π
2
x+
5π
6
），
对于①，f（
13
3
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
13
3
+
5π
6
）=
a2+b2
sin3π=0，故①正确；
对于②f（
4
3
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
4
3
+
5π
6
）=
a2+b2
sin
3π
2
=-
a2+b2
．
∴f（x）=
a2+b2
sin（
π
2
x+
5π
6
）≥-
a2+b2
=f（
4
3
），即②正确；
对于③，∵f（
13
12
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
13
12
+
5π
6
）=
a2+b2
sin
33π
24
=-
a2+b2
sin
3π
8
．
f（
17
12
）=
a2+b2
sin（
π
2
×
17
12
+
5π
6
）=
a2+b2
sin
37π
24
=-
a2+b2
sin
13π
24
≠f（
13
12
）．故③错误；
对于④，由2kπ+
π
2
≤
π
2
x+
5π
6
≤2kπ+
3π
2
，（k∈Z）得其单调递减区间为：x∈[4k-
2
3
，4k+
4
3
]．故④错误．
对于⑤，由2kπ+
3π
2
≤
π
2
x+
5π
6
≤2kπ+
5π
2
，（k∈Z）得其单调递增区间为：x∈[4k+
4
3
，4k+
10
3
]．故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π2
，x∈R)的图象的一部分如图所示，则函数f（x）的解析式为
 
．
精英家教网函数f(x)=Asin(ωx+?) (A＞0，ω＞0，|?|＜
π
2
)部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间x∈[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
已知函数f(x)=Asin(ωx+?)，x∈R，(A＞0．ω＞0，0＜?＜
π
2
)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
π
2
，且图象上一个最低点为M(
2π
3
，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A，B，C是△ABC的三个内角，若cosB=
1
3
，f(
C
2
)=
3
，求sinA．
函数f(x)=Asin(ωx-
π
6
)（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈(0，
π
2
)，则f(
α
2
)=
2
，求cosα的值．
（2010•广东模拟）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g(x)=f(x+
π
12
)，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

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