Question

．(本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx，g(x)=e^x．
( I)若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x₀，f (x₀))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

Answer 1

解：（Ⅰ） ，
．·················· 2分
∵且，
∴
∴函数的单调递增区间为．··············· 4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切线的方程为,
即, 　　① ··················· 6分
设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴．··············· 8分
∴直线也为，
即， ②···················· 9分
由①②得 ，
∴．·························· 11分
下证：在区间（1，+）上存在且唯一.
由（Ⅰ）可知，在区间上递增．
又，，······ 13分
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．                                               
故结论成立．

略