Question

已知向量=（sin（），），=（cos（），），（ω＞0，x≥0），函数f（x）=的第n（n∈N^*）个零点记作x_n（从左向右依次计数），则所有x_n组成数列{x_n}．
（1）若，求x₂；
（2）若函数f （x）的最小正周期为π，求数列{x_n}的前100项和S₁₀₀．

Answer 1

【答案】分析：（1）若，可得函数f（x）=的解析式，由f（x）=0，可得 sin=- （x≥0），故有x=4kπ+，或x=4kπ+，k∈z，由此可得第二个零点的值．
（2）由函数f （x）的最小正周期为π，求得ω=2，可得 函数f（x）=sin2x+．令f（x）=0，可得 sin2x=-，故有x=kπ+，或x=kπ+，k∈z．由此可得S₁₀₀=+= 运算求得结果．
解答：解：（1）若，则向量=（sin，），=（cos，），
函数f（x）==sin+．
由f（x）=0，可得 sin=- （x≥0），故有 =2kπ+，或 =2kπ+．
∴x=4kπ+，或x=4kπ+，k∈z．
自左向右第一个零点为 x=，第二个零点为x=，即 x₂=．
（2）∵函数f （x）的最小正周期为π，则ω=2，
∴函数f（x）==（sinx，）•（cosx，）=sinxcosx+=sin2x+．
令f（x）=0，可得 sin2x=-，∴2x=2kπ+，或2x=2kπ+，k∈z．
即 x=kπ+，或x=kπ+，k∈z．
∴S₁₀₀=+==50×49π+50×=2525π．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的零点的定义和求法，三角函数的周期性，两角和差的正弦公式，等差数列求和，属于中档题．