题目内容

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．
（1）求点C₁到平面AB₁D₁的距离；
（2）求平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角（结果用反三角函数值表示）．

解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A（0，0，0）、D₁（0，a，a）、B₁（a，0，a）、C₁（a，a，a）
，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ 是平面AB₁D₁的法向量，于是，有 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
令z=-1，得x=1，y=1．
于是平面AB₁D₁的一个法向量是 $\text{[math]}$ ．（5分）
因此，C₁到平面AB₁D₁的距离 $\text{[math]}$ （8分）
（2）由（1）知，平面AB₁D₁的一个法向量是 $\text{[math]}$ ．又因AD⊥平面CDD₁C₁，故平面CDD₁C₁的一个法向量是 $\text{[math]}$ ．（10分）
设所求二面角的平面角为θ，则 $\text{[math]}$ ．（13分）
所以，平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA₁方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，求出平面AB₁D₁的法向量 $\text{[math]}$ ，则C₁到平面AB₁D₁的距离 $\text{[math]}$ ，代入即可求出点C₁到平面AB₁D₁的距离；
（2）求出平面CDD₁C₁的一个法向量 $\text{[math]}$ ，结合（1）中平面AB₁D₁的法向量 $\text{[math]}$ ，代入向量夹角公式，即可求出二面角的平面角的余弦值，进而得到平面CDD₁C₁与平面AB₁D₁所成的二面角的大小．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中（1）的关键是求出平面AB₁D₁的法向量 $\text{[math]}$ ，然后代入 $\text{[math]}$ 中求解，（2）的关键是求出平面CDD₁C₁的一个法向量 $\text{[math]}$ 和平面AB₁D₁的法向量 $\text{[math]}$ ，将二面角问题转化为向量夹角问题．