Question

已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，+∞）且a∈[，2]时，求证：f（x₁）﹣f（x₂）≥ln2+．

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析.

解析试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性及最值、不等式等基础知识，考查函数思想，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，先对求导，由函数定义域可知，的分母为正数，设的分子为新函数，判断，所以或，解得的取值范围；第二问，对求导，令，设出方程的两根，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，判断导函数的正负，决定函数的单调性，求出最大值和最小值，代入求证的式子的左边，化简，得到，再求函数的最小值，通过不等式的传递性得到求证的表达式.
试题解析：（I）由（），得：，
∵a≠0，令，∴．
令或， 则．
(II）由（I）得：，
设（）的两根为，
则，得．
当和时，，函数f（x）单调递增；
当和时，，函数f（x）单调递减，
则，，
则
==（利用）
令，则，
则函数单调递增， ，
∴，
∵，则，
∴．
考点：1.二次函数的性质；2.零点问题；3.利用导数判断函数的单调区间；4. 利用导数判断函数的最值；5.不等式的性质.