Question

（1）求数列an=

n-1

2n

(n∈N*)的前n项和S_n．
（2）若T_n为数列{b_n}的前n项和，且Tn=2bn+n2-3n-2，n∈N*，求bn．
（3）在条件（2）下，设cn=

1

bn-n

，(n∈N*)M_n为c_n的前n项和，求证：Mn＜

37

44

．

Answer 1

分析：（1）利用“错位相减法”即可得出；
（2）利用bn=

T1，n=1 Tn-Tn-1，n≥2

，可得b_n+1=2b_n-2n+2，化为b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），再利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）利用“放缩法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵Sn=0+

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-2

2n-1

+

n-1

2n

，
2S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

，
两式相减得：Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n-1

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-1-

n-1

2n

=1-

n+1

2n

．
∴Sn=1-

n+1

2n

．
（2）当n=1时，b₁=T₁=2b₁+1-3-2，解得b₁=4．
∵Tn+1=2bn+1+(n+1)2-3(n+1)-2，①
Tn=2bn+n2-3n-2，②
②-①b_n+1=2b_n-2n+2，
∴b_n+1-2（n+1）=2（b_n-2n），好
∴数列{b_n-2n}是以b₁-2=2为首项，2为公比的等比数列．
∴bn-2n=2•2n-1，
∴bn=2n+2n．
（3）cn=

1

2n+n

，当n=1：M1=

1

3

＜

37

44

，
当n≥2，M_n=

1

3

+

1

22+2

+…+

1

2n+n

＜

1

3

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1

3

+

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

1

2

=

1

3

+

1

2

-

1

2n

＜

5

6

＜

37

44

．

点评：熟练掌握“错位相减法”、bn=

T1，n=1 Tn-Tn-1，n≥2

、变形利用等比数列的通项公式、“放缩法”和等比数列的前n项和公式等是解题的关键．