Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列{c_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

n(an+3)

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）对于（2）中的S_n是否存在实数t，使得对任意的n∈N^*均有：8S_n≤t（a_n+17）成立？若存在，求出t的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设该数列的公差为d，结合题意可得（1+4d）²=（1+d）•（1+13d），解可得d，由等差数列通项公式可得答案；
（2）根据题意，对b_n变形可得bn=

1

n(an+3)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），由拆项相消法可得S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

），即可得答案；
（3）由题意得即：t≥

2n

(n+1)(n+8)

恒成立，求出

2n

(n+1)(n+8)

的最大值，即可得答案．

解答：解：（1）设该数列的公差为d，
由其第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列{c_n}的第二项、第三项、第四项，
可得1+d，1+4d，1+13d成等比数列，所以（1+4d）²=（1+d）•（1+13d）
解之得：d=2，
则a_n=2n-1；
（2）bn=

1

n(an+3)

=

1

n(2n+2)

=

1

2

×

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）；
S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）；
则Sn=

1

2

(1-

1

n+1

)；
（3）由题意得：任意的n∈N^*，4(1-

1

n+1

)≤t(2n+16)恒成立，
即：t≥

2n

(n+1)(n+8)

恒成立，
可求得：当n=3时，

2n

(n+1)(n+8)

取得最大值

3

22

，则t≥

3

22

．

点评：本题考查数列的应用，有一定的难度，解数列有关的问题时，注意n的取值范围．