Question

若函数f（x）=lnx，g（x）=x-
（I ）求函数φ（x）=g（x）+kf（x）（k∈R）的单调区间
（II）若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出φ（x）的解析式，再求出定义域，求出导数并进行整理，对△=k²-8进行分两类讨论，分别求出k的范围、φ′（x）≥0和φ′（x）＜0对应的x范围，即是函数的单调区间；
（2）由题意得转化为：x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，分离出a后构造函数h（x）=，利用导数求出此函数在[e，+∞）上的最小值；
另解：由xlnx≥ax-a构造函数h（x）=xlnx-ax+a，利用导数求出h（x）在[e，+∞）上的最小值，需要对a进行分类讨论．
解答：解：（Ⅰ）由题意得φ（x）=x-+klnx的定义域为（0，+∞），
∴φ′（x）==，
令y=x²+kx+2得，则△=k²-8，
①当△=k²-8≤0时，即，φ′（x）≥0，
②当△=k²-8＞0时，即或，
此时方程x²+kx+2=0有两个不同实根：，，
若时，则x₁＜x₂＜0，故φ′（x）＞0，
若时，则0＜x₁＜x₂，
当0＜x＜x₁或x＞x₂时，φ′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，φ′（x）＜0，
综上：当时，φ（x）的单调递增区间（0，+∞），
当时，φ（x）的单调递增区间（0，），（，+∞），
单调减区间为（，）；
（Ⅱ）由题意得，x∈[e，+∞）都有xlnx≥ax-a成立，即a≤，
令h（x）=，x∈[e，+∞），
则h′（x）==，
∵当x≥e时，（x-lnx-1）′=1-＞0，
∴x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，即h′（x）＞0，
则h（x）在[e，+∞）上递增，故h（x）_min=h（e）=，
∴；
另解：由xlnx≥ax-a得，xlnx-ax+a≥0，
令h（x）=xlnx-ax+a，则当在[e，+∞）上时，h（x）_min≥0，
则h′（x）=lnx+1-a，由h′（x）=0得x=e^a-1，
当0＜x＜e^a-1时，h′（x）＜0；当x＞e^a-1时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e^a-1）上单调递减，在（e^a-1，+∞）上单调递增，
①当a≤2时，e^a-1≤e
∴h（x）在（e，+∞）上单调递增，
∴h（x）_min=h（e）=e-ae+a≥0，即，
②当a＞2时，h（e）≥0，即e-ae+a≥0，得e+a≥ae，
若2＜a＜e，则e+a＜2e＜ae；若a≥e，则e+a≤2a＜ae，
∴a＞2不成立，
综上所述．
点评：本题考查了导数与函数的单调性关系，以及恒成立问题转化为求单调性和最值等综合应用，考查了分类讨论思想、转化思想和分离常数方法．