Question

如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）

试题分析：（1）求椭圆的离心率，即寻找关于a,c的等式，而题中已知了，在椭圆中有代入已知等式，可获得关于a,c的等式，从而可求得离心率的值；（2）因为当点恰为椭圆的右顶点时，对应的，此时点C的坐标可表表示为(a,0),再由及可用a将点A的坐标表示出来，因为点在已知椭圆上，将A点坐标代入可得到关于a,b的一个方程，联立可解出a,b的值；（3）注意由（2）结论可得到：椭圆的方程为，应用点差法：设出，由得到①，再由得到②；再将A，B两点的坐标分别代入椭圆方程后相减，可将直线AB的斜率用A，B两点的坐标来表示，同理将C，D两点的坐标分别代入椭圆方程后相减，可将直线CD的斜率用C，D两点的坐标来表示，由平面几何知识可知AB//CD，所以=，再将①②代入即可求出含与的方程，可解得的值，此值若与有关，则不是定值，此值若与无关，则是定值.
试题解析：（1）因为，所以，得，即，
所以离心率.                                                   4分
（2）因为，，所以由，得，          7分
将它代入到椭圆方程中，得，解得，
所以.                                                     10分
（3）法一：设，
由，得，                                     12分
又椭圆的方程为，所以由，
得  ①，  且   ②，
由②得，，
即，
结合①，得，                                 14分
同理，有，所以，
从而，即为定值.                                   16分
法二：设，
由，得，同理，  12分
将坐标代入椭圆方程得，两式相减得
，
即，   14分
同理，，
而，所以，
所以，
所以，
即，所以为定值.                            16分
（说明：只给对结论但未正确证明的，给2分）