Question

已知数列{a_n} 的前n项和为Sn=

n2+n

2

，
（1）求数列{a_n} 的通项公式；  
（2）求数列{a_nx^n-1}的前n项和（其中x＞0）．

Answer 1

分析：（1）由题意知得

a1=S1，n=1 an=Sn -Sn-1，n≥2

，由此可知数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）数列{a_nxⁿ}是由一个等差数列与一个等比数列的积构成的，求和适用错位相减法，当x=1时，即为等差数列求和，当x≠1时，将和式两边乘以公比x，再错位相减，即可得数列{a_nxⁿ}的前n项和T_n

解答：解：（1）a₁=S₁=

1

2

（1+1）=1，
a_n=S_n-S_n-1=

1

2

（n²+n）-

1

2

[（n-1）²+（n-1）]
=n．
当n=1时，n=1=a₁，
∴a_n=n．
（2）T_n=1+2x+3x²+…nx^n-1…①
xT_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ…②
当x≠1时：①-②得 (1-x)Tn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=

1-xn

1-x

-nxn
Tn=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

当x=1时，S_n=

1

2

n（n+1）综上
Tn=

1 2 n(n+1)；x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ；x≠1

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a_n=S_n-S_n-1求解数列的通项公式，以及等差数列的通项公式和性质，数列求和的方法--错位相减法，解题时要学会辨别数列类型，确定求和方法，认真运算，避免出错属于基础题．