Question

【题目】已知，函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）已知当时，函数有两个零点，，求证：.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) （3）见解析

【解析】

试题分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）分两种情况讨论，当，利用一次函数的性质求解，当时， ，设，只需令即可；（3）由，原不等式转化为证明，∵，∴，所以的两个零点，利用导数研究函数的单调性，只需证明只需证 即可得结论.

试题解析：（（1），∴，

当时，在上单调递增，

当时，考虑时，令 ，

①时，在单调递减，在单调递增；

②时，在单调递减，在单调递增.

（2）方法一：（参变分离）

，

当时，，

∴ .

当时， ，

设，∴ ，

∴在单调递减，

∴，∴，

综上所述：.

方法二：（最值法）

若，只需，，

由（1）可得：

①当时，在上单调递增，

∴即可，解得：，

∴.

②当时，在单调递减，在单调递增，

∴，

∴，

③时，在单调递减，在单调递增，

∴，

即，令，

设，则，

∴在单调递减，

而，所以原不等式无解.

（此处也不构造函数，，显然时，此式小于零，即可证明）

综上所述：.

（3）注意到，所以所证明不等式转化为证明，

∵，∴，

所以的两个零点.

方法一：

由可得：，

∴，∴，

令，则，

令，，则当时，

，

∴在单调递减，∴，即，

∴在单调递减，，即，

∵时，在均单调递减，

∴.

方法二：同方法一可知，下面考虑证明，

∴，

下证：，∵，

所以只需证，由，

所以只需证 ，

令，，

∴，，，

∴在单调递减，

∴，

∴在单调递减，∴，

∴ ，

所以得证，

∵时，在均单调递减，

∴.