Question

【题目】已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）讨论函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）当时，函数有一个零点；当时，有三个零点．

【解析】

（1）代入的函数解析式，求得导函数及切点坐标，由导数的几何意义即可得切线方程；

（2）求得导函数，并对分类讨论，即可确定的单调性，进而由不等式恒成立求得的取值范围；

（3）将的解析式代入可得解析式，结合基本不等式可知在时，函数有唯一零点；当时，可知为奇函数，由可判断的单调情况，进而构造，可证明当时，，进而可知当时，函数有唯一零点，即可判断时的零点个数.

（1）当时，，

可得，

则有，，即切点坐标为，

则切线方程为，

化简可得.

（2）函数，

则，

当时，恒成立，则函数在上单增，而，与恒成立矛盾，不合题意；

当时，恒成立，则符合题意；

当时，由得，则在上单调递减，

在上为单调递增，

则，解得．

综上：．

（3）因，

当时，因为恒成立，

则在上为增函数，而，则此时函数有唯一零点．

当时，则为奇函数．

只需研究情形．

由，

得，则有．

则，，

则在上为减函数，在上为增函数，

则有．

下面证明：当时，．

证明：令，则，，

即函数在上为增函数，故有，

则在上为增函数，故有，则．

当时，有，则，

取，则，

因为为连续函数，由零点存在性定理可得：存在唯一，使得，即当时，函数有唯一零点，也即此时函数有三个零点．

综上：当时，函数有一个零点；当时，有三个零点．