Question

【题目】设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若椭圆E的离心率为，三角形ABF2的周长为4.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线.

Answer 1

【答案】（1）＋＝1；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆的定义由三角形ABF2的周长求出a，代入离心率求出c，再求出b，即可求得椭圆的方程；（2）直线斜率不存在时由椭圆的对称性即可证明；直线斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，A，B 点的坐标代入方程，两式相减利用中点坐标公式变形可求出直线OM的斜率，同理可求出ON的斜率，两斜率相等即可得证.

（1），a＝，

又e＝，∴c＝，b＝，

∴椭圆E的方程为＋＝1.

（2）当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；

当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k(k≠0)，

且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

则，两式相减，得＝－，

又，所以·＝－，

则－－.

同理可得－，，∴O，M，N三点共线.