题目内容

实数列a，a1，a2，a3…，由下述等式定义．
（Ⅰ）若a为常数，求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）求依赖于a和n的an表达式；
（Ⅲ）求a的值，使得对任何正整数n总有an+1＞an成立．
【答案】分析：（Ⅰ）利用，代入求解即可；
（Ⅱ）由，得，令，所以，利用叠加法，可得，从而可得结论；
（Ⅲ）先得出，再对进行分类讨论，从而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴a1=1-3a，a2=-1+9a，a3=7-27a…（2分）
（Ⅱ）由，得…（3分）
令，所以
所以bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）=
==
=，…（6分）
所以…（7分）
所以=
=…（8分）
（Ⅲ）∵
=
∴…（10分）
如果，利用n无限增大时，的值接近于零，对于非常大的奇数n，有an+1-an＜0；
如果，对于非常大的偶数n，an+1-an＜0，不满足题目要求．
当时，，于是对于任何正整数n，an+1＞an，因此即为所求．…（13分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的研究，考查恒成立问题，确定数列的通项是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设H(a)=-
16
[g(a)-27]，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．
已知：正数数列an中，若关于x的方程x2-
an+1
x+
3an+2
4
=0(n∈N+)有相等的实根
（1）若a1=1，求a2，a3的值；并证明
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
＜
3
4

（2）若a1=a，bn=an-（3n-12）•2n，求使bn+1≥bn对一切n∈N+都成立的a的取值范围．
（2008•奉贤区模拟）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．
已知函数f（x）=x2+（a-3）x+a2-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p2+q2+r2，③p3+q3+r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设，数列{an}满足an+1=H（an）（n∈N*），且a1∈（0，1），试判断an+1与an的大小，并证明之．

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