Question

若F₁、F₂分别是椭圆在左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且．
（1）求出这个椭圆的方程；
（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，可得a=2，c=，从而可求椭圆的方程；
（2）设方程为y=kx+2，与椭圆方程联立，利用韦达定理及，即可求出直线l的斜率k．
解答：解：（1）依题意，∵
∴2a=4，2c=2，∴a=2，c=，∴
∴椭圆的方程为；
（2）显然当直线的斜率不存在时，不满足题设条件，设方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程组，消元可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∴x₁+x₂=，
由△=256k²-4（1+4k²）×12＞0，可得①
∵∠AOB=90°，∴
∴
∴k²=4②
由①②可得，k=±2
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是直线与椭圆的方程联立，利用韦达定理求解．