Question

（本题共3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分７分，第3小题７分）
对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数．
① 对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
已知函数与是定义在上的函数．
（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使方程恰有两解？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当时，总有满足①……………………………1分
当时，
满足②………3分
所以函数为函数；………………………………………………………4分
（2）因为函数是函数，根据①有，……………6分
根据②有

…………………………………………………7分
因为，
所以，，其中和不能同时取到，
于是，……………………9分
所以，即，……………10分
于是…………………………………………………………………………11分
另解：因为函数是函数，根据①有，…………6分
根据②有
………………………………8分
取得…………………………………………………………10分
于是…………………………………………………………………………11分
（3）【理科】根据（2）知，原方程可以化为，……………12分
由，……………………………………………………14分
令，则，………………………………………15分
由图形可知：当时，方程有一解；…………………………………16分
当时，方程无解；…………………………17分
因此，方程不存在两解。………………………………………………………18分
【文科】根据（2）知，原方程可以化为，…………………12分
由，……………………………………………………14分
令，…………………………………………………………………15分
则，……………………………………………16分
因此，当时，方程有解。……………………………………………18分
 

略