Question

若函数y=f（x）在（0，+∞）上的导函数为f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是

 

．
①bf（a）＞af（b）；②af（a）＞bf（b）；③bf（a）＜af（b）；④af（a）＜bf（b）．

Answer 1

分析：构造g（x）=

f(x)

x

（x＞0），求导数g′（x），利用利用导数判定g（x）的单调性，可以得出结论．

解答：解：令g（x）=

f(x)

x

（x＞0），则g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

（x＞0）；
又∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），即

f(a)

a

＞

f(b)

b

；
∴bf（a）＞af（b）．
故答案为：①．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及构造函数来解题的方法，是易错题．