Question

已知函数f（x）=

3

8

x²-2x+2+ln x．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在[e^m，+∞）（m∈Z）上有零点，求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数和单调性之间的关系，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据函数的单调性，利用极值与x轴之间的关系，确定m的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

8

x²-2x+2+ln x，
∴f'（x）=

3

4

x-2+

1

x

=

(3x-2)(x-2)

4x

，
由f'（x）＞0，解得x∈(0，

2

3

)∪(2，+∞)，此时函数单调递增，
f'（x）＜0，解得x∈(

2

3

，2)，此时函数单调递减，
即函数的增区间：（0，

2

3

）和（2，+∞），减区间：（

2

3

，2）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知y 最大=f(

2

3

)=

5

6

+ln

2

3

＞0，y 最小=f(2)=ln2-

1

2

＞0，
当x＞0且x→0时f（x）＜0，故f（x）在定义域上存在唯一零点x₀，且x0∈(0，

2

3

)，
若m≥0，则e^m≥1，[em，+∞)?(

2

3

，+∞)，此区间不存在零点，舍去．
若m＜0，当m=-1时，x∈[

1

e

，+∞)，f（

1

e

）=1+

3

8e2

-

2

e

＞0，
又（

1

e

，

2

3

）为增区间，此区间不存在零点，舍去．
当m=-2时，x∈[

1

e2

，+∞)，f(

1

e2

)=

1

e2

(

3

8e2

-2)＜0，
又在区间（

1

e2

，

2

3

），y=f（

2

3

）＞0，此时x₀∈（

1

e2

，

2

3

），
综上m_max=-2．

点评：本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，以及利用根的存在性定义判断函数零点问题，综合性较强，难度较大．