Question

【题目】在三棱锥中，，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意可求出点P到面ABC的距离为，而三角形ABC为直角三角形，由此可知球心O在面ABC内的射影为AC的中点，设球心O到面ABC的距离为h，根据勾股定理，即可求出h，算出外接球半径，得到外接球的表面积。

如图所示，过P作PD垂直AB于D，PA=PB，所以D为AB的中点，因为平面平面，所以PD面ABC，又因为，所以三棱锥外接球的球心在面ABC内的射影为AC的中点，且O，E，D，P四点共面。

过O作OF垂直PD于F，所以四边形OEDF为矩形。设球心O到面ABC的距离为h，即OE=FD=h，三棱锥外接球的半径为R。在等腰中，，而 ， ，

故，解得 ，，

表面积。