Question

【题目】如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且.

（1）证明：平面；

（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）取的中点，的中点，连接、、，将五面体分割为三棱柱和四棱锥，证明出底面和平面，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体的体积.

（1）取的中点，连接、，

侧面为正方形，且，为的中点，

又为的中点，且，

且，，所以，四边形为平行四边形，.

平面，平面，平面；

（2）取的中点，的中点，连接、、，

四边形为正方形，.

平面平面，平面平面，平面，

底面，

易知，，，

，

为中点，，，

平面，平面，，

，、平面，平面.

，平面，且，

，因此，.