题目内容

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1， $数学公式$ ），N（- $数学公式$ ， $数学公式$ ）两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．

解：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n）
∵椭圆过M，N两点
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，即椭圆方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，得y²=4（1- $\text{[math]}$ ）
∴|AP|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+4（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ a）²+4- $\text{[math]}$ a²（|x|≤3），
当| $\text{[math]}$ |≤3即0＜a≤ $\text{[math]}$ 时，|AP|²的最小值为4- $\text{[math]}$ a²
∴4- $\text{[math]}$ a²=1?a=± $\text{[math]}$ ∉（0， $\text{[math]}$ ]
∴ $\text{[math]}$ a＞3即 $\text{[math]}$ ＜a＜3，此时当x=3时，|AP|²的最小值为（3-a）²
∴（3-a）²=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）
故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．
分析：（1）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得 $\text{[math]}$ ，求出m，n后就得到椭圆的方程．
（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，得y²=4（1- $\text{[math]}$ ），结合题设条件能够推导出|AP|²= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ a）²+4- $\text{[math]}$ a²（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．
点评：本题综合考查椭圆的直线的位置关系，在解题时要注意培养计算能力和灵活运用公式的能力．