题目内容

设G、M分别为△ABC的重心和外心，A(－1，0)，B(1，0)且

(Ⅰ)求点C的轨迹E的方程．

(Ⅱ)设轨迹E与y轴两个交点分别为A₁，A₂(A₁位于A₂下方)．动点M、N均在轨迹E上，且满足，直线A₁N和A₂M交点P是否恒在某条定直线l上，若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设为轨迹E上任意一点，显然A、B、C不共线，∴　　1分

　　则的重心为，∵　∴的外心为　　3分

　　由　　　6分

　　即点C的轨迹E的方程为：

　　(Ⅱ)设，为轨迹E上

　　满足条件的点

　　∵

　　∴　　8分

　　而直线的方程为：　　(1)

　　直线的方程为：　　(2)

　　由得：

　　∵　∴

　　∴，

　　即直线和交点P恒在定直线：上　　12分

　　(Ⅱ)法2：设：，则：

　　由

　　，

　　∴的坐标为　　9分

　　∴为：　　10分

　　联立的方程，解得：　∴

　　即点P恒在定直线：上．　　12分

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注：三角形的重心的概念和性质如下：设△ABC的重心，且有

设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A(－1，0)、B(1，0)，GM//AB．

(1)求点C的轨迹方程；

(2)设点C的轨迹为曲线E，是否存在直线，使过点(0.1)并与曲线E交于P、Q两点，且满足？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．

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注：三角形的重心的概念和性质如下：设△ABC的重心，且有 $数学公式$ ．

设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，是否存在直线l，使l过点（0.1）并与曲线E交于P、Q两点，且满足

=-2？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
注：三角形的重心的概念和性质如下：设△ABC的重心，且有