Question

设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，是否存在直线l，使l过点（0.1）并与曲线E交于P、Q两点，且满足

OP

•

OQ

=-2？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
注：三角形的重心的概念和性质如下：设△ABC的重心，且有

GD

GC

=

GE

GA

=

GF

GB

=

1

2

．

Answer 1

可设C点的坐标为（x，y）．
由重心坐标的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y）
外心M在AB的垂直平分线上，显然AB所在直线为y=0，外心就落在y轴上，横坐标为零；
设外心坐标M（0，b），由GM∥AB可知

1

3

y=b
那么就确定了外心坐标M（0，

1

3

y）
由外心定义，CM=AM=BM，AM已经等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴x2+(y-

1

3

y)2=(-1-0)2+(

1

3

y)2
整理可得点C的轨迹方程为 x²+

y2

3

=1(xy≠0)
（II）假设存在直线l满足条件，设直线l方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 x2+ y2 3 =1

消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0    
∵直线l与曲线E并于P、Q两点，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=- 2k 3+k2 x1x2=- 2 3+k2 .

∵

OP

•

OQ

=-2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0，（1+k²）(-

2

3+k2

)+k(-

2k

3+k2

)+3=0
解得k²=7，∴k=±

7

故存在直线l：y=±

7

+1，使得

OP

•

OQ

=-2，