Question

2．已知函数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$．
（1）用定义证明该函数在[1，+∞）上是减函数；
（2）判断该函数的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）直接由函数单调性的定义证明；
（2）求出函数的定义域为R，再由f（-x）=-f（x）说明函数是奇函数．

解答 （1）设x₁，x₂为[1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{2{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}=\frac{2{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}-2{{x}_{1}}^{2}{x}_{2}-2{x}_{2}}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）-2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$．
∵x₂＞x₁≥1，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$＞0．
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$在[1，+∞）上是减函数；
（2）∵f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$的定义域为R，且f（-x）=$\frac{-2x}{（-x）^{2}+1}=-\frac{2x}{{x}^{2}+1}=-f（x）$，
∴f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$是定义域上的奇函数．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性的性质，考查了函数单调性与奇偶性的判定方法，是基础题．